Unidad 3

REPRESENTACIONES DE OBJETOS EN TRES DIMENSIONES


3.1.-REPRESENTACIÓN DE OBJETOS EN TRES DIMENSIONES



· OBJETO TRIDIMENSIONAL


Cualquier objeto tridimensional puede representarse como un conjunto de superficies poligonales planas. Una representación de un polígono ofrece a una descripción aproximada del objeto.


Cada polígono de un objeto puede especificarse en paquetes de gráficas mediante comando de líneas o de llenado de área para definir las coordenada del vértice. Los paquetes CAD a menudo permiten a los usuarios introducir posiciones para el vértice conjunto con frontera de polígonos con métodos interactivos.


· TABLA DE POLÍGONO


Una vez que el usuario haya definido cada superficie de polígono, el paquete de gráfica organiza los datos de entrada en las tablas que se utilizaran en el procesamiento y despliegue de las superficies. Los datos de la tabla contiene las propiedades geométricas y de atributos del objeto, organizadas para facilitar el procedimiento. Las tablas de datos geométricos contienen coordenada y parámetros de fronteras para identificar la orientación en el espacio de las superficies poligonales.


Un método adecuado para almacenar información de coordenadas consiste en crear 3 listas:


· Tabla de vértices

· Tabla de aristas

· Tabla de polígonos


TABLA DE VÉRTICES


V1: X1,Y1,Z1

V2: X2,Y2,Z2

V3: X3,Y3,Z3

V4: X4,Y4,Z,4

V5: X5,Y5,Z5,


TABLA DE ARISTAS



E1: V1,V2

E2: V2,V3

E3: V3,V4

E4: V4,V5

E5: V4,V5

E6: V5,V6
TABLA DE POLIGONOS


S1: E1,E2,E3

S2: E2,E4,E5,E6


Algunas de las pruebas que podría realizar un paquete de gráficas son:


1.- Que todos y cada uno de los vértices se en listen como un extremo de cuanto menos 2 líneas

2.- Que toda línea sea parte cuando menos de un polígono.

3.- Que todo polígono sea cerrado

4.- Que cada polígono tenga al menos una arista compartida.

5.- Si la tabla de aristas contiene apuntadores a polígonos, que toda arista referenciada por un apuntador de polígonos que tenga un apuntador recíproco hacia el polígono.


· ECUACIONES DE PLANOS

Los parámetros que especifican la orientación espacial de cada polígono se obtienen de los valore ordenados de los vértices y de las ecuaciones que se definen de los planos poligonales. Estos parámetros de planos se utilizan en transformaciones de visión, modelo de sombreado, algoritmos de superficies ocultas que determinan líneas y planos que se traslapan a lo largo de la línea de visión.


La ecuación de una superficie plana puede expresarse así:

Ax + By + Cz + D = 0


Donde (x,y,z) es cualquier punto del plano. Los coeficientes A,B,C,D son constantes que pueden calcularse utilizando los valores coordenados de tres puntos no colineales en el plano.

· BIBLIOGRAFÍA


GRAFICACION POR COMPUTADORA
Donald Heran /M.Pauline Baker

Visulización de objetos

Puntos de vista preestablecidos


Se puede modificar el punto de vista desde el cuál se observa el objeto sin más que seleccionar una de las diez vistas preestablecidas que presenta AutoCAD, seis vistas 2D y cuatro vistas isométricas.


A continuación se muestran las distintas vistas en base a la siguiente imagen, donde se observa el sistema de coordenadas universal y la posición del objeto respecto a él. Teniendo en cuenta que las líneas de color establecen el sentido positivo del eje, según la imagen X a la derecha, Y al fondo y Z hacia arriba.





Vistas 2D


Superior


Vista perpendicular al plano XY que observa el objeto desde un punto por encima de él y en sentido negativo del eje Z.





Inferior


Vista perpendicular al plano XY que observa el objeto desde un punto por debajo de él y en sentido positivo del eje Z.





Izquierda


Vista perpendicular al plano YZ que observa el objeto desde un punto a su izquierda y en sentido positivo del eje X.


Derecha
Vista perpendicular al plano YZ que observa el objeto desde un punto a su derecha y en sentido negativo del eje X.



Frontal
Vista perpendicular al plano ZX que observa el objeto desde un punto por delante de él y en sentido positivo del eje Y.



Posterior
Vista perpendicular al plano ZX que observa el objeto desde un punto por detrás de él y en sentido negativo del eje Y.


Vistas isométricas
Isométrica SO
Se observa el objeto por encima del plano del suelo con una inclinación de 35º respecto a él, desde un punto situado por delante y a la izquierda del objeto, por lo que se visualiza la parte superior del objeto, su lateral izquierdo y el frontal.



Isométrica SE
Se observa el objeto por encima del plano del suelo con una inclinación de 35º respecto a él, desde un punto situado por delante y a la derecha del objeto, por lo que se visualiza la parte superior del objeto, su lateral derecho y el frontal.



Isométrica NE

Se observa el objeto por encima del plano del suelo con una inclinación de 35º respecto a él, desde un punto situado por detrás y a la derecha del objeto, por lo que se visualiza la parte superior del objeto, su lateral derecho y la parte posterior.



Isométrica NO
Se observa el objeto por encima del plano del suelo con una inclinación de 35º respecto a él, desde un punto situado por detrás y a la izquierda del objeto, por lo que se visualiza la parte superior del objeto, su lateral izquierdo y la parte posterior.

3.3 Transformaciones Tridimensionales

Muchos de nuestros objetos del universo 3D serán estáticos, como paredes, terrenos y objetos de decoración, pero otros objetos requerirán movimiento. En 3D existen tres tipos de movimientos básicos que combinados conforman todas las alternativas necesarias. Estos movimientos se denominan transformaciones, dado que consisten en transformaciones lineales de coordenadas y son los siguientes:






· Traslación (translation): consiste en mover cada punto por una distancia constante, en una dirección específica.

· Rotación (rotation): movimiento de un objeto siguiendo una ruta circular

· Escalado (scaling): incrementa o disminuye el tamaño de un objeto, por un factor de escalar.
Transformation Matrix

Para aplicar cada uno de los tres movimientos a una malla compuesta por triángulos, sería necesario desplazar cada uno de los vértices de la misma al lugar correspondiente. Esta operación es engorrosa para objetos de mucha complejidad y se torna aún más complicado cuando se quieren acumular movimientos, por ejemplo: trasladarse, luego rotar y luego volver a trasladarse.





Es por ello que las APIs gráficas cuentan con una herramienta destinada a facilitar el movimiento de objetos denominada Transformation Matrix. Esta matriz tiene una estructura de 4x4:


La matriz es utilizada para representar todas las transformaciones necesarias para mover un objeto 3D en el universo. Los valores contenidos en la matriz son utilizados para mover, rotar y escalar objetos. Cada fila de la matriz representa la coordenada en el universo de cada eje. La primer fila contiene la posición del eje X, la segunda del eje Y y la tercera del eje Z. Cada elemento de la matriz representa una porción de la transformación. La matriz es inicialmente cargada con la matriz identidad.

La ventaja de almacenar los movimientos de los objetos 3D con esta matriz y no con vectores sueltos es que todos los movimientos, rotaciones y escalados a hacer a un objeto en un cuadro de animación pueden almacenarse en una sola matriz. Esto es gracias a la multiplicación de matrices.

Si queremos mover un objeto, después rotarlo y luego volverlo a mover podemos crear las matrices necesarias para cada movimiento y luego multiplicarlas todas, y así obtener una sola matriz resultante que engloba todo el movimiento completo.


De esta forma, la API gráfica solo recibe una única matriz que representa el movimiento total de un objeto 3D en un momento determinado, y se reduce el almacenamiento de memoria requerido

3.4 Lineas y Superficies Curvas

Una curva es: una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola y la hipérbola.
en fin, una curva es una linea que hace firuletes en un espacio vectorial.


superfcie: es un conjunto en 3d, una esfera, un paraboloide hiperbolico,paraboloide, un elipsoide , etc....



LAS CURVAS Y SUPERFICIES NO SON FUNCIONES,SON CONJUNTOS. QUE SE PUEDEN VER COMO "CORTES" DE LOS GRAFICOS QUE DESCRIBEN LAS FUNCIONES. A CADA CORTE DE LA FUNCION SE LO LLAMA NIVEL.

para entender mejor:
estamos hablando de funciones del tipo F: |R^n --> |R

el codominio son los reales, y el dominio un espacio vectorial.

¿el grafico de F es el dominio mas la imagen, no? osea un generico (dom(F),img(F))
osea si hablamos de F: |R^3-->|R
el grafico es un subconjunto de |R^4 porque es la suma de las dimensiones del dominio+ el codominio.
osea el generico seria asi : grafico(F)= (x,y,z,F(x,y,z))
pero eso es algo en 4 dimensiones y no se puede dibujar
Por eso se recurre a los "cortes" llamados superficies o curvas de nivel, que hacen que baje una dimension, osea solo veria el dominio en un punto del codominio.
Es decir la superficie de nivel en k serian los puntos (x,y,z) perteneciente a |R^3 talque F(x,y,z)=k
donde k es un valor del codominio.
Generico de la superficie de nivel = (x,y,z,F(x,y,z)=k)

Una curva de nivel es exactamente lo mismo pero en funciones de F: |R^2-->|R
osea curva de nivel= (x,y,F(x,y)=k)


PARA TODOS LOS CASOS X,Y,Z SON VARIABLES
a,b,c SON CONSTANTES

Curvas de nivel mas usadas o conocidas:

circunferencia con centro en (h,j) y radio r:

(x-h)^2+(y-j)^2=r^2


elipse con centro en (h,j) y semiejes a y b:
((x-h)^2)/a^2+((y-j)^2)/b^2=1


hiperbola:
(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1 o (y^2)/a^2-(x^2)/b^2=1

superficies de nivel:

paraboloide:
f(x,y)=x^2+y^2 si despejo z me queda 0=x^2+y^2-z



Conclusión: la graficación está presente en todos los ámbitos de nuestra vida, ya que lo podemos encontrar en la vida diaria como los objetos que nos rodean representados o vistos de una manera diferente, con dimensiones y propiedades distintas según la aplicación que se le va a dar a cada figura.