Fractal



¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA FRACTAL?



 Una razón por la que la Geometría puede ser considerada, en algunas ocasiones, como algo frío o lejano es su incapacidad para describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Ni la montaña es cónica, ni la nube esférica: la Naturaleza presenta un grado de complejidad mucho mayor que el de las formas clásicas euclídeas.

Se trata, por tanto, de encontrar una Geometría para poder describir lo irregular, lo que Euclides consideraba "informe". A finales del siglo XIX y principios del siglo XX, algunos matemáticos como Cantor, Peano o Hilbert, habían descrito objetos geométricos monstruosos, a los que se consideró como estructuras patológicas y simples anécdotas para el entretenimiento de los aficionados, ya que son curvas cerradas de longitud infinita que encierran una superficie finita o bien "llenan" toda una porción del plano...

Sin embargo, según Mandelbrot, la Naturaleza ha gastado una broma a los matemáticos, ya que aquellas formas extravagantes que inventaron para escapar al naturalismo de su época, han resultado ser inherentes a muchos objetos de la realidad.
La geometría fractal ofrece un modelo alternativo que busca una regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas. Esta forma de regularidad no precisa el encorsetamiento del objeto en otras formas geométricas que, aunque elementales, no dejan de ser externas al mismo, sino que busca la lógica interna del propio objeto mediante relaciones intrínsecas entre sus elementos constitutivos cuando estos se examinan a diferentes escalas. De esta forma no se pierden ni la perspectiva del objeto global, ni del aspecto del mismo en cada escala de observación. La geometría fractal busca y estudia los aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala.

¿Que es un fractal?
El término fractal fue acuñado por el profesor Mandelbrot (1975) para designar objetos matemáticos de estructura irregular y compleja que se encuentran presentes en muchos comportamientos y formas de la naturaleza.



Bajo esa denominación se incluyen objetos geométricos de muy distinta procedencia, cuya característica común es la estructura de los procesos que les dan origen. Un fractal es el producto final que se genera mediante la iteración infinita de un proceso geométrico específico, en general muy simple. Esta simplicidad en la construcción produce, sin embargo, objetos que presentan una extraña complejidad y, en ocasiones, una belleza espectacular.



“La Geometría de la Naturaleza tiene una cara Fractal”
                                                     Benoît Mandelbrot


Tessellation fractal de espirales

Tipos:

Fractales Lineales

  Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un cambio en la variación de sus escalas, es decir,  son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito. Por tanto, si vemos una parte específica muy pequeña de una forma fractal la veremos igual o similar a la forma original del fractal, solamente que más pequeña.
   Los primeros fractales lineales que se conocen datan de finales del siglo XIX, mucho  antes de que se hubiera definido formalmente lo que era un fractal. Estos conjuntos eran considerados "monstruos matemáticos", por tener características que los matemáticos de entonces no podían explicarse.
 
   A continuación mostraremos los fractales lineales más conocidos:

Conjunto de Cantor:

Este conjunto fue introducido por  Georg Cantor en 1883 y  es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1].
Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos:
  • se parte de un segmento de longitud 1..
  • Se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir los extremos).
  • Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas.
  • Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.


 
(1845-1918)
Conjunto de Cantor
Conjunto de Cantor en 3D





La curva de Hilbert:


También conocida como la curva que recubre el plano de Hilbert, es una curva fractal continua que recubre el plano descrita inicialmente por el matemático alemán David Hilbert en 1891.


Se construye mediante el procedimiento siguiente:

Se parte de un cuadrado
Se hallan los puntos medios de los lados y se forman cuatro cuadrados iguales. Unimos los puntos medios de estos cuadrados mediante tres segmentos (Figura 1)
Se repite el proceso en cada unos de los cuadrados anteriores uniendo además mediante segmentos adicionales (en azul) las terminaciones de las líneas poligonales en cada cuadrado (en verde) (Figura 2)
Se repite este proceso indefinidamente.














David Hilbert


(1862-1943)











Figura 1

Figura 2


Curva de Hilbert

(8 iteraciones)







Copo de nieve de Koch


El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto. descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904.


Su construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero en el que finalmente cada uno de sus lados queda sustituido por lo que se llama una curva de Koch.


Helge Von Koch
(1870-1924)










Curva de Koch

Copo de nieve


Triángulo de Sierpinski:

Este triángulo recibe su nombre de Waclaw Sierpinski, quien lo propuso en 1915.


Para construirlo se sigue el siguiente proceso:
Se parte de un triángulo equilátero
Se hallan los puntos medios de los lados y se unen entre sí formando un nuevo triángulo invertido que ser recorta de la figura.
Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos que aparecen en el punto anterior
Seguimos indefinidamente este proceso





Wacław Sierpinski

(1882-1969)







Triángulo de Sierpinski (5 iteraciones)

Pirámide de Sierpinski

Ejemplos:

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.







sucesivos pasos de la construcción de la Curva de Koch


Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904,Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.



Construcción de la alfombra de Sierpinski:


 Paso 1 (semilla) 

 paso 2

 paso 3

 paso 5

 paso 6

Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.4


En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
Los conjuntos de Julia[editar]







En negro, imagen del Conjunto de Mandelbrot superpuesto con losconjuntos de Julia rellenos representados por algunos de sus puntos (en rojo los conjuntos de Julia conexos y en azul los no conexos).


Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas .


Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a . Al conjunto de valores de que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplementeconjunto de Julia.


Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.


Ejemplos de conjuntos de Julia para





En negro, conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=φ-1, donde φ es elnúmero áureo





Conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.382+0.618i





Conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=-0.835-0.2321i
Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot[editar]


La familia de conjuntos de Julia , asociadas a la reiteración de funciones de la forma presenta conjuntos de una variedad sorprendente.


Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales, popularizado en los años 1980. llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetro , se colorea de modo que refleje una propiedad básica del conjunto de Julia asociado a . En concreto, si el conjunto de Julia asociado a es conexo.


Iterando funciones de forma alternativa se generan los fractales oscilantes.
El método de Mandelbrot: diferentes fractales iterando potencias de Z[editar]


A continuación se muestra una serie de fractales de las diferentes potencias de Z = Zm + C , según el método de Mandelbrot. Todos los puntos del plano complejo C=(Cx,iCy) son iterados por adición a la función correspondiente. Todas las iteraciones parten de los puntos x=0 iy=0. Cuando la iteración converge se colorea de amarillo pálido. La divergencia a infinito es coloreada mediante un patrón cromático desde el negro al azul. El fractal derivado de la función Z = Z2 + C se denomina conjunto de Mandelbrot.


Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot Z = Zm + C



Z = Z2 + C

Conjunto de Mandelbrot



Z = Z3 + C



Z = Z4 + C



Z = Z5 + C



Z = Z6 + C



Z = Z7 + C



Z = Z8 + C



Z = Z9 + C



Z = Z10 + C



Z = Z11 + C



Z = Z12 + C



Z = Z20 + C


Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot Z = Zm + 1/C



Z=Z2 + 1/C



Z=Z3 + 1/C



Z=Z4 + 1/C



Z=Z5 + 1/C



Z=Z6 + 1/C



Z=Z7 + 1/C


Más fractales según el método de Mandelbrot.



Z = Z2+C6 - 1
Zo = (0,0i)



Z = Cos(Z)+ 1/C
Zo = (0,0i)



Z = Exp[(Z2+Z)/Sqr(C3)]
Zo = (1,1i)



Z = Exp[(Z2-1.00001*Z)/Sqr(C3)]
Zo = (0,0i)



Z = Exp[(Z2- 1.00001*Z)/C3]
Zo = (0,0i)



Z = Sin(Z*C2)
Zo = (1,0i)



Z = Cos(Z/C)
Zo = (0,0i)



Z = Cos(Z*C^3)
Zo = (0,0i)



Z = Exp(Z^3/C^3)
Zo = (0,0i)



Z = Exp(C^3/Z^3)
Zo = (0,0i)



Z = Exp(Z/C^4)
Zo = (0,0i)



Z=Z2 + C2 / (Z2+C) + C
Zo = (0,0i)



Z=Z2 + C2 / (C4 + 0.1)
Zo = (0,0i)



Z=Z2 + C2 / (C4 - 0.25)
Zo = (0,0i)



Z = SinH(Z / C )
Zo = (0,1i)



Z = SinH(Z) + 1/C
Zo = (0.90, -0.05i)



Z = SinH(Z) + 1/C2
Zo = (1, 0.1i)



Z = Exp[Z2 / ( C5 + C )]
Zo = (0,0i)
El método de Julia: diferentes fractales iterando potencias de Z[editar]


A continuación se muestra una serie de fractales de las diferentes potencias de Z = Zm + C, según el método de Julia por el matemático francés Gaston Julia.


Todos los puntos del plano complejo Z=(x,iy) son iterados en la función correspondiente. A todas las iteraciones se le añade una constante arbitraria (Cx,iCy) de tal modo que la elección de la constante "semilla" determina de forma unívoca la forma y el color del fractal, una vez ha sido definido el patrón cromático. En los ejemplos mostrados a continuación se ha elegido una constante tal que solo produce divergencia, y se ha coloreado con el algoritmo de la velocidad de escape.


Ejemplos de fractales del tipo Julia Z = Zm + C



Z = Z2 + C

Cx=0.279 Cy=0.000



Z = Z3 + C

Cx=0.400 Cy=0.000



Z = Z4 + C

Cx=0.484 Cy=0.000



Z = Z5 + C

Cx=0.544 Cy=0.000



Z = Z6 + C

Cx=0.590 Cy=0.000



Z = Z7 + C

Cx=0.626 Cy=0.000



Ejemplos de fractales de tipo Julia, de la función exponencial: Z = Zm + C



Z = Exp(Z) + C
Cx= -0.65 Cy=0.00



Z = Exp(Z3) + C
Cx= -0.59 Cy=0.00



Z = Exp(Z3) + C
Cx= -0.621 Cy=0.00
Zoom x9



Z = Z * Exp(Z) + C
Cx= 0.04 Cy=0.00



Z = Z2 * Exp(Z) + C
Cx= 0.21 Cy=0.00



Z = Z3 * Exp(Z) + C
Cx= 0.33 Cy=0.00



Z = Z4 * Exp(Z) + C
Cx= 0.41 Cy=0.00


Ejemplos de fractales del tipo Julia de funciones complejas.



Z = Sqr[SinH(Z2)] + C
Cx= 0.065 Cy=0.122



Z = [(Z2+Z) / LN(Z)] + C
Cx= 0.268 Cy=0.060
El método de Newton[editar]


El método de Newton intenta encontrar por iteración las raíces de la función F(Z)-1 = 0.


Se itera la función F(Z) con cada punto del plano complejo (x + iy), siendo Z=(x1 + iy1) hasta la convergencia de x1 i y1, según la siguiente fórmula: Zn+1 = Zn - F(Zn) / F’(Zn), en donde F’(Z) es la derivada. Se ha coloreado con el algoritmo de la velocidad de convergencia, conceptualmente idéntico al de la velocidad de escape, y presenta similitudes con el método de Julia.


Ejemplos de fractales de tipo Newton, de algunas funciones de variable compleja:




Z4-1 = 0
Zn+1 = [(3 * Zn4 + 1) / (4 * Zn3)]

Z6 + Z3 - 1 = 0

SIN(Z)- 1 = 0

COSH(Z)- 1 = 0

Conclusión:


Los fractales están presentes en la naturaleza y son un conjunto de sucesiones de formas y con pequeñas variantes que los hacen muy vistosas e interesantes, los matemáticos representan estas formas por medio de formulas y esa pequeña variación la representan como una constante la cual la hace diferente de los demás fractales.

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Trazo de líneas rectas

Imagen
Una línea es una sucesión continua de puntos (trazado), como por ejemplo un trazo o un guion. Las líneas suelen utilizarse en la composición artística, se denomina en cambio «raya» a trazos rectos sueltos, que no forman una figura o forma en particular. En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin. Un algoritmo de discretización de líneas calcula las coordenadas de los pixeles que están sobre o cerca de una línea ideal infinitamente delgada sobrepuesta a una trama bidimensional. En principio nos gustaría que la secuencia de píxeles estuviera lo más cerca posible de la línea ideal y que además fuera lo más recta posible. Consideremos por el momento líneas de 1 pí...
Leer más

BREVE HISTORIA DE LA GRAFICACION

BREVE HISTORIA DE LA GRAFICACION A lo largo de la historia han sucedido importantes eventos que han sentado las bases para las graficas por computadora. Estos descubrimientos y sus autores son: Euclides (300-250 A.C), su fórmula de geometría. Filipo Brunelleschi (1377-1446), es reconocido por su uso de la perspectiva. Rene Descartes (1596-1650), hiso aportaciones a la geometría analítica, en particular, el sistema de eje coordenado. Gottfried Wilhelm (1646-1716) e Issac Newton (1642-1727), inventaron el calculo que permite la descripción de sistemas dinámicos. J.Presper Mauchly(1919-1995) y John William Mauchly (1907-1980), construyeron la computadora ENIAC. Por mencionar algunos. Los1960s Se puede decir que la historia comienza con el proyecto Whirlwind y el sistema computacional SAGE que fue diseñado para apoyar el estado de alerta militar, el proyecto inicio como un esfuerzo para construir un simulador de vuelo y SAGE en los Estados Unidos como protección de ataques...
Leer más